Escalier de phi - Famille

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Introduction

Le but de cette page est de montrer qu'à partir de la seule valeur \(n\) caractéristique d'un élément de la famille du nombre d'or, il est possible de déterminer les coefficients des termes de puissance de \(n\) des fractions continues correspondantes. Ces coefficients se placent dans un schéma en triangle (puissances impaires) puis en escalier (puissances entières). Une relation entre le triangle de Pascal et le schéma en escalier est finalement établie.

Le développement complet est disponible ce document.

Famille du nombre d'or

Le nombre d'or, \(\varphi\) est la racine positive de l'équation \(\varphi^2 = \varphi+1\), soit \(\displaystyle \varphi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}\).

La famille du nombre d'or est constituée par les racines positives solutions de l'équation \((\varphi_{n})^2 = n \times \varphi_{n}+1\), soit \(\displaystyle \varphi_{n} = \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2}\).

La spécificité de la famille du nombre d'or est de présenter un développement en fraction continue particulièrement simple. En effet, \[ \frac{n+\sqrt{n^2+4}}{2} = n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+\frac{1}{n+ \ldots}}}=(n+1/(n+1/(n+1/(n+\ldots))))\] soit en format abrégé: \(\varphi_{n} = [n,\, n, \, n, \, n, \,\ldots] = [\overline{n}]\).

Puissances de la famille du nombre d'or

Une simple application de cette formule permet d'établir le tableau des valeurs numériques des développements en fraction continue de quelques puissances de \(\varphi_n\):

\(n\)puissance
12345
1\([\overline{1}]\)\([2,\,\overline{1, \, 1}]\)\([\overline{4}]\)\([6,\,\overline{1, \, 5}]\)\([\overline{11}]\)
2\([\overline{2}]\)\([5,\,\overline{1, \, 4}]\)\([\overline{14}]\)\([33,\,\overline{1, \, 32}]\)\([\overline{82}]\)
3\([\overline{3}]\)\([10,\,\overline{1, \, 9}]\)\([\overline{36}]\)\([118,\,\overline{1, \, 117}]\)\([\overline{393}]\)
4\([\overline{4}]\)\([17,\,\overline{1, \, 16}]\)\([\overline{76}]\)\([321,\,\overline{1, \, 320}]\)\([\overline{1364}]\)
5\([\overline{5}]\)\([26,\,\overline{1, \, 25}]\)\([\overline{140}]\)\([726,\,\overline{1, \, 725}]\)\([\overline{3775}]\)

Ce tableau permet de généraliser le développement en fraction continue des puissances de la famille du nombre d'or: \[ \begin{array}{lcccl} (\varphi_{n})&=& \varphi_{n}&=& [\overline{n}]\\ (\varphi_{n})^2 &=& n \times \varphi_{n} + 1 &=& [n^2+1,\, \overline{ 1,\, n^2}]\\ (\varphi_{n})^3 &=& (n^2+1) \times \varphi_{n} + n &=& [\overline{n^3+3n}]\\ (\varphi_{n})^4 &=& (n^3+2n) \times \varphi_{n} + n^2+1 &=& [n^4+4n^2+1,\, \overline{ 1,\, n^4+4n^2}]\\ (\varphi_{n})^5 &=& (n^4+3n^2+1) \times \varphi_{n} + n^3 + 2n &=& [\overline{n^5+5(n^3+n)}]\\ \end{array} \]

Ce tableau permet de constater qu'il est possible de passer:

  • d'une puissance impaire vers son double en appliquant \(m = n^2\). Par exemple, pour passer de \((\varphi_{n})^3\) à \((\varphi_{n})^6\), on pose \(m = n^3+3n\) et leurs développements en fractions continues s'écrivent: \[ \begin{array}{rcl} (\varphi_{n})^3 &=& [\overline{m}]\\ (\varphi_{n})^6 &=& [m^2+1,\, \overline{ 1,\, m^2}]\\ \end{array} \] En remplaçant \(m^2\) par sa valeur \((n^3+3n)^2 = n^6+6n^4+9n^2\), nous obtenons: \[(\varphi_{n})^6 = [n^6+6n^4+9n^2+1,\, \overline{ 1,\, n^6+6n^4+9n^2}]\]
  • d'une puissance paire vers son double en appliquant \(m^2 = n^4+4n^2\). Par exemple, pour passer de \((\varphi_{n})^4\) à \((\varphi_{n})^8\), on pose \(m^2 = n^4+4n^2\) et leurs développements en fractions continues s'écrivent: \[ \begin{array}{rcl} (\varphi_{n})^4 &=& [m^2+1,\, \overline{ 1,\, m^2}]\\ (\varphi_{n})^8 &=& [m^4+4m^2+1,\, \overline{ 1,\, m^4+4m^2}] \end{array} \] Le passage de \(m^2\) vers \(m^4+4m^2 = (m^2)^2+4m^2\) en remplaçant \(m^2\) par sa valeur donne: \[m^4+4m^2 = (n^4+4n^2)^2+4(n^4+4n^2) = n^8+8n^6+20n^4+16n^2\] et donc \[(\varphi_{n})^8 = [n^8+8n^6+20n^4+16n^2+1,\, \overline{ 1,\, n^8+8n^6+20n^4+16n^2}]\]
  • d'une puissance impaire vers son triple en appliquant \(m = n^3 + 3 n\). Par exemple, pour passer de \((\varphi_{n})^3\) à \((\varphi_{n})^9\), on pose \(m = n^3+3n\) et leurs développements en fractions continues s'écrivent: \[ \begin{array}{rcl} (\varphi_{n})^3 &=& [\overline{m}]\\ (\varphi_{n})^9 &=& [\overline{m^3+3m}]\\ \end{array} \] En remplaçant \(m\) par sa valeur: \[(m^3+3m) = (n^3+3n)^3 + 3 (n^3+3n) = n^9+9n^7+27n^5+30n^3+9n\] et donc \[(\varphi_{n})^9 = [\overline{n^9+9n^7+27n^5+30n^3+9n}]\]
  • par généralisation de la méthode, d'une puissance impaire vers son quintuple en appliquant \(m = n^5+5(n^3+n)\)
  • ...

A ce stade, nous constatons qu'avec les deux possibilités pour doubler la valeur de la puissance et qu'avec toutes les puissances par un nombre premier, il est possible de déterminer le développement en fraction continue de n'importe qu'elle puissance de \(\varphi_{n}\) sur base de la seule connaissance de \(n\).

Quelques puissances premières de \(\varphi_{n}\)

En se basant sur une analyse de valeurs numériques, le développement en fraction continue des puissances premières de la famille du nombre d'or débutent par: \[ \begin{array}{lcl} (\varphi_{n})^3 &=& [\overline{n^3+3n}]\\ (\varphi_{n})^5 &=& [\overline{n^5+5(n^3+n)}]\\ (\varphi_{n})^7 &=& [\overline{n^7+7(n^5+2n^3+n)}]\\ (\varphi_{n})^{11} &=& [\overline{n^{11}+11(n^{9}+4n^{7}+7n^{5}+5n^{3}+n)}]\\ (\varphi_{n})^{13} &=& [\overline{n^{13}+13(n^{11}+5n^{9}+12n^{7}+14n^{5}+7n^{3}+n)}]\\ (\varphi_{n})^{17} &=& [\overline{n^{17}+17(n^{15}+7n^{13}+26n^{11}+55n^{9}+66n^{7}+42n^{5}+12n^{3}+n)}]\\ (\varphi_{n})^{19} &=& [\overline{n^{19}+19(n^{17}+8n^{15}+35n^{13}+91n^{11}+143n^{9}+132n^{7}}\\ & & \overline{+66n^{5}+15n^{3}+n)}]\\ (\varphi_{n})^{23} &=& [\overline{n^{23}+23(n^{21}+10n^{19}+57n^{17}+204n^{15}+476n^{13}}\\ & & \overline{+728n^{11}+715n^{9}+429n^{7}+143n^{5}+22n^{3}+n)}]\\ \end{array} \]

Ces premières valeurs permettent de dégager une certaine uniformité entre les différentes puissance premières de \(\varphi_{n}\) supérieure à 2. Celles-ci se présentent sous la forme: \[(\varphi_{n})^k = [\overline{n^k + k \;(n^{k-2}+ \ldots + n)}]\quad \textrm{avec k nombre premier > 2}\] qui a pour particularité que tous les coefficients des puissances de \(n\) sont des entiers.

Quelques puissances impaires de \(\varphi_{n}\)

La détermination des développements en fraction continue des puissances impaires non première découle directement des règles établissant les relations entre deux puissances. Quelques puissances impaires non premières ont été déterminées de cette manière: \[ \begin{array}{lcl} (\varphi_{n})^{9} &=& [\overline{n^9+9(n^7+3n^5+\frac{10}{3}n^3+n})]\\ (\varphi_{n})^{15} &=& [\overline{n^{15}+15(n^{13}+6n^{11}+\frac{55}{3}n^{9}+30n^{7}+\frac{126}{5}n^{5}+\frac{28}{3}n^{3}+n})]\\ (\varphi_{n})^{21} &=& [\overline{n^{21}+21(n^{19}+9n^{17}+\frac{136}{3}n^{15}+140n^{13}+273n^{11}+\frac{1001}{3}n^{9}}\\ & & \overline{+\frac{1716}{7}n^{7}+99n^{5}+\frac{55}{3}n^{3}+n}]\\ (\varphi_{n})^{25} &=& [\overline{n^{25}+25(n^{23}+11n^{21}+70n^{19}+285n^{17}+\frac{3876}{5}n^{15}+1428n^{13}}\\ & & \overline{+1768n^{11}+1430n^{9}+715n^{7}+\frac{1001}{5}n^{5}+26n^{3}+n}]\\ & & \ldots\\ \end{array} \] Une mise en évidence de type:\[(\varphi_{n})^k = [\overline{n^k + k \;(n^{k-2}+ \ldots + n)}]\] est possible en admettant que les coefficients des puissances de \(n\) ne sont plus exclusivement des entiers, mais également des rationnels.

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