Escalier de phi - Triangle de Pascal

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L'escalier de \(\varphi_n\)

Constitution de l'escalier de \(\varphi_n\)

Il est donc possible de rassembler les puissances impaires et paires de \(\varphi_n\) dans une même tableau en utilisant les mêmes équations de détermination des coefficients. Les puissances en \(k=2p\) et en \(k=2p-1\) comportent le même nombre de coefficients. Les lignes du tableau on le même nombre de coefficients deux par deux et forment donc l'escalier de \(\varphi_n\): \[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|} \hline k &n^{k-2}&n^{k-4}&n^{k-6}&n^{k-8}&n^{k-10}&n^{k-12}&n^{k-14}\\ \hline 3&1& & & & & & \\ 4&1& & & & & & \\ 5&1&1& & & & & \\ 6&1&1+\frac{1}{2}&& & & & \\ 7&1&2&1&& & & \\ 8&1&2+\frac{1}{2}&2&& & & \\ 9&1&3&3+\frac{1}{3}&1& & & \\ 10&1&3+\frac{1}{2}&5&2+\frac{1}{2}& & & \\ 11&1&4&7&5&1& & \\ 12&1&4+\frac{1}{2}&9+\frac{1}{3}&8+\frac{3}{4}&3& & \\ 13&1&5&12&14&7&1& \\ 14&1&5+\frac{1}{2}&15&21&14&3+\frac{1}{2}& \\ 15&1&6&18+\frac{1}{3}&30&25+\frac{1}{5}&9+\frac{1}{3}&1\\ 16&1&6+\frac{1}{2}&22&41+\frac{1}{4}&42&21&4\\ 17&1&7&26&55&66&42&12\\ 18&1&7+\frac{1}{2}&30+\frac{1}{3}&71+\frac{1}{2}&99&77&30\\ 19&1&8&35&91&143&132&66\\ 20&1&8+\frac{1}{2}&40&113+\frac{3}{4}&200+\frac{1}{5}&214+\frac{1}{2}&132\\ \hline \end{array} \]

En imposant que tous les coefficients des puissances de \(n^{k-2}\) sont égaux à 1 et que le dernier coefficient des puissances impaires est égal à 1, alors: \[ \textrm{coef}^{k-m}_{k} = \textrm{coef}^{k-m}_{k-1} + \textrm{coef}^{k-(m-2)}_{k-2}\times \frac{m-2}{m} \quad \textrm{pour m \(\ge\) 4 et k>m} \] est la relation entre les coefficients de l'escalier de \(\varphi_n\).

La détermination directe des coefficients est possible en appliquant la formule : \[\textrm{coef}^{k}_m = \frac{\left(k-\frac{m+2}{2}\right)!}{(k-m)! \; \left(\frac{m}{2}\right)!}\] pour tous les entiers \(k \ge 3\) et tous les entiers pairs \(m \ge 2\).

Triangle de Pascal normalisé

Classiquement, le triangle de Pascal a la forme :

rang(p)
Puissance(n)0123456789
01
111
2121
31331
414641
515101051
61615201561
7172135352171
818285670562881
9193684126126843691

En partant de la puissance 2, si on divise chaque coefficient par la valeur de la puissance et que l'on ne garde que les valeurs \(\ge 1\), nous obtenons le triangle de Pascal normalisé: \[ \begin{array}{|c||c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline Puissance (n)&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9\\ \hline 2& &1& & & & & & & &\\ 3& &1&1& & & & & & &\\ 4& &1&1+\frac{1}{2}&1& & & & & &\\ 5& &1&2&2&1& & & & &\\ 6& &1&2+\frac{1}{2}&3+\frac{1}{3}&2+\frac{1}{2}&1& & & &\\ 7& &1&3&5&5&3&1& & &\\ 8& &1&3+\frac{1}{2}&7&8+\frac{3}{4}&7&3+\frac{1}{2}&1& &\\ 9& &1&4&9+\frac{1}{3}&14&14&9+\frac{1}{3}&4&1& \\ \hline \end{array} \]

Relation entre l'escalier de \(\varphi_n\) et le triangle de Pascal normalisé

En comparant l'escalier de \(\varphi_n\) et le triangle de Pascal normalisé, on remarque qu'il y a respectivement correspondance entre les colonnes :

  • \(n^{k-2}\) et la colonne de rang 1
  • \(n^{k-4}\) et la colonne de rang 2
  • \(n^{k-6}\) et la colonne de rang 3
  • \(n^{k-m}\) et la colonne de rang \(m/2\)
La grosse différence entre les deux tableaux est le décalage vers le bas de l'escalier de \(\varphi_n\) qui de ce fait ne présente pas la symétrie existante dans le triangle de Pascal.

Une autre manière d'exprimer cette relation est de constater qu'une ligne du triangle de Pascal normalisé correspond à une diagonale de l'escalier de \(\varphi_n\).

Conclusions

La recherche d'une formule donnant les coefficients des développements en fraction continue pour les puissances première à débouché sur une formule valable pour toutes les puissances entières: \[\textrm{coef}^{k}_m = \frac{\left(k-\frac{m+2}{2}\right)!}{(k-m)! \; \left(\frac{m}{2}\right)!}\] pour tous les entiers \(k \ge 3\) et tous les entiers pairs \(m \ge 2\).

Les puissances premières comportent la particularité de ne contenir que des coefficients entiers (condition nécessaire (et suffisante?)). La mise en évidence conservant des coefficients entier peut se poursuivre dans le cas des puissances premières en passant de la formule générale: \[(\varphi_{n})^k = [\overline{n^k + k \;(n^{k-2}+ \ldots + n)}]\] à la formule applicable pour les puissances premières: \[(\varphi_{n})^k = [\overline{n^k+kn(n^2+1)(n^{k-5}+\ldots+1)}]\] et même à \[(\varphi_{n})^k = [\overline{n^k+kn(n^2+1)^2(n^{k-7}+\ldots+1)}]\] Lorsque \(k =\) nombre premier +2, comme c'est le cas entre 5 et 7 ou 41 et 43.

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