Escalier de phi - Puissances

Page d'accueil

!!! Formules en Latex interprétées par Mathjax!!! (Version pdf de cette page si nécessaire.)

Relations entre les coefficients des puissances de \(\varphi_n\)

Puissances impaires

Des constatations réalisées sur les puissances impaires de \(\varphi_n\) c'est sous la forme \((\varphi_{n})^k = [\overline{n^k + k \;(n^{k-2}+ \ldots + n)}]\) qu'une analyse des relations entre les coefficients des puissances impaires de \(\varphi_n\) est entreprise. La relation entre les coefficients de \(n^{k}\), \(n^{k-2}\) et de \(n\) est simple puisqu'ils sont tous égaux à 1. Pour les autres puissances de \(n\), le tableau suivant reprend quelques coefficients de \(n^{k-m}\) avec \(k-4>=m>=2\). \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k&n^{k-4}&n^{k-6}&n^{k-8}&n^{k-10}&n^{k-12}&n^{k-14}\\ \hline 5&1&& & & & \\ 7&2&1&& & & \\ 9&3&3+\frac{1}{3}&1& & & \\ 11&4&7&5&1& & \\ 13&5&12&14&7&1& \\ 15&6&18+\frac{1}{3}&30&25+\frac{1}{5}&9+\frac{1}{3}&1\\ 17&7&26&55&66&42&12\\ 19&8&35&91&143&132&66\\ 21&9&45+\frac{1}{3}&140&273&333+\frac{2}{3}&245+\frac{1}{7}\\ 23&10&57&204&476&728&715\\ 25&11&70&285&775+\frac{1}{5}&1428&1768\\ 27&12&84+\frac{1}{3}&385&1197&2584&3876\\ 29&13&100&506&1771&4389&7752\\ \hline \end{array} \]

Ce tableau permet de déterminer les équations qui donnent les coefficients des différentes colonnes en fonction de \(k\): \[ \begin{array}{lcl} n^{k-4} &:& \frac{k-3}{2}\\ n^{k-6} &:& \frac{(k-4)(k-5)}{6}\\ n^{k-8} &:& \frac{(k-5)(k-6)(k-7)}{24}\\ n^{k-10} &:& \frac{(k-6)(k-7)(k-8)(k-9)}{120}\\ n^{k-12} &:& \frac{(k-7)(k-8)(k-9)(k-10)(k-11)}{720}\\ n^{k-14} &:& \frac{(k-8)(k-9)(k-10)(k-11)(k-12)(k-13)}{5040}\\ \end{array} \] qui présentent une séquence logique: l'équation suivante est obtenue:

  • pour le numérateur en supprimant le premier terme en \((k-\ldots)\), en rajoutant 2 termes en \((k-\ldots)\): par exemple de \((k-5)(k-6)(k-7)\) à \((k-6)(k-7)(k-8)(k-9)\)
  • pour le dénominateur en multipliant par l'entier suivant, ce qui donne la suite de dénominateurs : \(2\), \(2\times3=6\), \(6\times4=24\), \(24\times5=120\), ...

Les coefficients des colonnes suivantes seront données par: \[ \begin{array}{lcl} n^{k-16} &:& \frac{(k-9)(k-10)(k-11)(k-12)(k-13)(k-14)(k-15)}{40320}\\ n^{k-18} &:& \frac{(k-10)(k-11)(k-12)(k-13)(k-14)(k-15)(k-16)(k-17)}{362880}\\ n^{k-20} &:& \frac{(k-11)(k-12)(k-13)(k-14)(k-15)(k-16)(k-17)(k-18)(k-19)}{3628800}\\ \end{array} \]

A partir de ces constatations, une écriture sous forme de factoriels est établie. Si \(\textrm{coef}^{k}_m\) est le coefficient de \(n^{k-m}\), alors: \[\textrm{coef}^{k}_m = \frac{\left(k-\frac{m+2}{2}\right)!}{(k-m)! \; \left(\frac{m}{2}\right)!}\] pour tous les entiers impairs \(k \ge 3\) et tous les entiers pairs \(m \ge 2\).

Le tableau des puissances impaires peut donc être systématiquement replis et par conséquent les valeurs pour les nombres premiers \(>2\) parfaitement déterminés sans passer par une analyse numérique.

Puissances paires

Le tableau des coefficients des puissances paires est facile à réaliser en utilisant le tableau des puissances impaires et les deux relations pour passer d'une puissances impaire ou paire vers sont double. Cette détermination met rapidement en évidence que ces coefficients peuvent également être présentés sous la forme: \[(\varphi_{n})^k = [\overline{n^k + k \;(n^{k-2}+ \ldots + \textrm{coef}^2_k \; n^2)}]\]

La relation entre les coefficients de \(n^{k}\) et \(n^{k-2}\) est simple puisqu'ils sont tous égaux à 1. Par contre les coefficients de \(n^2\) sont différents de 1 et varient en fonction de la puissance paire \(k\): \[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|} \hline k&n^{k-4}&n^{k-6}&n^{k-8}&n^{k-10}&n^{k-12}&n^{k-14}\\ \hline 6&1+\frac{1}{2}&& & & & \\ 8&2+\frac{1}{2}&2&& & & \\ 10&3+\frac{1}{2}&5&2+\frac{1}{2}& & & \\ 12&4+\frac{1}{2}&9+\frac{1}{3}&8+\frac{3}{4}&3& & \\ 14&5+\frac{1}{2}&15&21&14&3+\frac{1}{2}& \\ 16&6+\frac{1}{2}&22&41+\frac{1}{4}&42&21&4\\ 18&7+\frac{1}{2}&30+\frac{1}{3}&71+\frac{1}{2}&99&77&30\\ 20&8+\frac{1}{2}&40&113+\frac{3}{4}&200+\frac{1}{5}&214+\frac{1}{2}&132\\ \hline \end{array} \]

Les coefficients de ce tableau s'obtiennent avec les mêmes équations que les coefficients du tableau des puissances impaires: \[ \begin{array}{lcl} n^{k-4} &:& \frac{k-3}{2}\\ n^{k-6} &:& \frac{(k-4)(k-5)}{6}\\ n^{k-8} &:& \frac{(k-5)(k-6)(k-7)}{24}\\ n^{k-10} &:& \frac{(k-6)(k-7)(k-8)(k-9)}{120}\\ \ldots\\ \end{array} \]

Mis sous les formes similaires \((\varphi_{n})^k = [\overline{n^k + k \;(n^{k-2}+ \ldots + n)}]\) pour les puissances impaires et \((\varphi_{n})^k = [\overline{n^k + k \;(n^{k-2}+ \ldots + \textrm{coef}^2_k \; n^2)}]\) pour les puissances paires, les coefficients des puissances en \(n^{k-m}\) s'obtiennent à l'aide des mêmes formules.

Liens:

Page précédente   Haut   Page suivante