Escalier de phi - Relation amusante

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Relation amusante pour \((\varphi_{n})^{2k}\)

Sur base des coefficients de la fraction continue \([n^2+1,\, \overline{ 1,\, n^2}]\), les fractions réduites de \((\varphi_{n})^2\) sont: \[ \left[\frac{1}{0},\, \frac{n^2+1}{1}, \, \frac{n^2+2}{1}, \, \frac{n^2(n^2+2)+n^2+1}{n^2+1}\right] \] lorsqu'on utilise les 3 premiers termes \([n^2+1\), \(1\), \(n^2]\). La prise en compte du terme suivant \(1\) donne la fraction réduite: \[\frac{n^2(n^2+2)+(n^2+1)+ (n^2+2)}{n^2+1+1}=\frac{(n^2+1)(n^2+2)+(n^2+1)}{n^2+2}\] \[=\frac{(n^2+3)(n^2+1)}{n^2+2}\]

Le numérateur de cette dernière fraction est intéressant si l'on fait le rapprochement avec les termes du développement en fraction continue de \((\varphi_{n})^4\) : \([n^4+4n^2+1,\, \overline{ 1,\, n^4+4n^2}]\). On constate en effet que: \[(n^2+3)(n^2+1) = n^4 + 4 n^2 + 3\]

Si, pour le développement en fraction continue de \((\varphi_{n})^4\) on pose \(m^2 = n^4 + 4 n^2\), nous pouvons écrire que \[(\varphi_{n})^4 = [m^2+1,\, \overline{ 1,\, m^2}]\] qui donne la fraction réduite \[\frac{(m^2+3)(m^2+1)}{m^2+2}\] nous remarquons alors que le choix de la valeur de \(m\) implique que \[(n^2+3)(n^2+1) = m^2+3\] qui donne une suite logique entre les puissances 2 et 4 et par extension entre les puissances \(\displaystyle 2^k\) et \(\displaystyle 2^{k+1}\).

Cette écriture permet d'obtenir de façon mécanique des approximations des puissances en \(\displaystyle 2^k\) de \(\varphi_{n}\). Par exemple:

  • pour n = 1, nous avons:
    • \(\displaystyle \varphi^2 \approx \frac{(1+3) \times (1+1)}{1+2}= \frac{4 \times 2}{3} = \frac{8}{3}\)
    • \(\displaystyle \varphi^4 \approx \frac{8 \times 6}{7} = \frac{48}{7}\)
    • \(\displaystyle \varphi^8 \approx \frac{48 \times 46}{47} = \frac{2208}{47}\)
    • \(\ldots\)
    qui conduit à des approximations de plus en plus précise de \(\varphi\):
    • \(\displaystyle \varphi \approx \sqrt{\frac{8}{3}} = 1.6||32\)
    • \(\displaystyle \varphi \approx \sqrt[4]{\frac{48}{7}}=1.618||21\)
    • \(\displaystyle \varphi \approx \sqrt[8]{\frac{2208}{47}} = 1.61803||40\)
    • \(\ldots\)
  • pour n = 8 \(\displaystyle(\varphi_8 = 4+\sqrt{17})\), nous avons:
    • \(\displaystyle (\varphi_8)^2 \approx \frac{(64+3) \times (64+1)}{64+2}= \frac{67 \times 65}{66} = \frac{4355}{66}\)
    • \(\displaystyle (\varphi_8)^4 \approx \frac{4355 \times 4353}{4354} = \frac{18957315}{4354}\)
    • \(\displaystyle (\varphi_8)^8 \approx \frac{18957315 \times 18957313}{18957314} = \frac{359379754094595}{18957314}\)
    • \(\ldots\)
    qui conduit à des approximations de plus en plus précise de \(\varphi_8\):
    • \(\displaystyle \varphi_8 \approx \sqrt{\frac{4355}{66}} = 8.123105||83\)
    • \(\displaystyle \varphi_8 \approx \sqrt[4]{\frac{18957315}{4354}}=8.12310562561766||62\)
    • \(\displaystyle \varphi_8 \approx \sqrt[8]{\frac{359379754094595}{18957314}} = 8.1231056256176605498214098559||81\)
    • \(\ldots\)

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