Une courte introduction aux ondelettes

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Introduction

La transformée en ondelette est une méthode de traitement du signal adaptée aux signaux non périodiques. Elle permet une analyse temps-fréquence que ne permet pas une analyse par Fourrier a fenêtres glissantes.

Pavage Fourrier Pavage Ondelette
La résolution de l'analyse dans le temps est la même pour toutes les fréquences d'analyse du signal. La résolution de l'analyse dans le temps augmente avec l'augmentation de la fréquence d'analyse du signal.
Pavage temps-fréquence de Fourrier a fenêtres glissantes Pavage temps-fréquence d'une analyse par ondelette

Les algorithmes d'ondelettes ont deux composants: une fonction d'ondelette et une fonction d'échelle (dénommé parfois filtre passe haut et filtre passe bas). Le principe de la transformée en ondelette est d'utiliser:

  • la fonction d'échelle pour déterminer une version comprimée du signal;
  • la fonction d'ondelette pour déterminer les détails supprimés par la fonction d'échelle.

La transformée directe

La fonction d'ondelette utilise deux (ou plus) mesures pour déterminer les coefficients d'ondelette. La fonction d'échelle utilise ces mêmes mesures pour créer une version comprimée du signal.

En pratique

La première moitié des données est remplacée par les valeurs déterminée par la fonction d'échelle et présente le signal avec deux fois moins de données.

La seconde moitié des données est remplacée par les valeurs déterminée par la fonction d'ondelette qui donne les détails qui ont été retirés du signal par la fonction d'échelle.

décomposition d'échelle et d'ondelette

Pour redire la même chose,mais autrement, le signal traité est remplacé dans la première moitié par un signal équivalent "en moyenne" mais à fréquence d'échantillonnage 2 fois plus faible et dans la seconde moitié du signal par les coefficients (les détails) qui s'ils sont rajoutés à la première moitié du signal permettent de le recomposer identiquement.

Traitement en multi-résolution

On obtient un traitement en multi-résolution en reproduisant ce processus à chaque fois sur le signal comprimé obtenu (le séparant à nouveau en valeurs d'échelles et en valeur d'ondelette).

multi-résolution dans le traitement par ondelette

Le premier traitement du signal porte sur la totalité des données, puis sur la première moitié, puis sur le premier quart ... Un traitement en multi-résolution doit donc se réaliser sur 2m valeurs.

La transformée inverse

La transformée inverse en ondelette permet de reconstituer le signal à partie des coefficients déterminés par la fonction d'échelle et la fonction d'ondelette.

Au signal comprimé déterminé par la fonction d'échelle, on rajoute les détails déterminés par la fonction d'ondelette pour reconstruire le signal original.

Pour une information plus complète voir ce texte mathématiquement plus classique trouvé sur le site Orbi de l'Ulg.


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