Catégorie des nombres somme de deux entiers élevés au carré

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Introduction

En comparant la somme de 2 entiers élevés au carré, on constante que certains résultats sont obtenus de plusieurs manière différente. Par exemple: \(85 = 6^2+7^2 = 2^2+9^2\) ou \(1825 = 12^2+41^2 = 15^2+40^2 = 23^2 + 36^2\). Les résultats de ces calculs permettent de répartir les sommes obtenues en différentes catégories ayant en commun le nombre de manière différente de combiner les sommes de 2 entiers élevés au carré (dans l'exemple, 85 appartient à la catégorie 2 et 1825 à la catégorie 3).

Le but de cette page est de brièvement exposer les règles d'appartenance d'une somme à une catégorie précise. Le développement complet est disponible ce document.

Recherche brute

L'ensemble des sommes pour les entiers allant de 1 à 31624 (résultats allant de 2 à 1000014129) a été établi (programme écrit en c pur). Cette réalisation permet d'obtenir la somme minimum entrant dans quelques catégories ainsi que la décomposition en facteurs premiers de ces sommes:

CatégorieSommeDéveloppement
250\(2 \times 5^2\)
3325\(5^2 \times 13\)
41105\(5 \times 13 \times 17\)
58125\(5^4 \times 13\)
65525\(5^2 \times 13 \times 17\)
7105625\(5^4 \times 13^2\)
827625\(5^3 \times 13 \times 17\)
971825\(5^2 \times 13^2 \times 17\)
10138125\(5^4 \times 13 \times 17\)
115281250\(2 \times 5^6 \times 13^2\)
12160225\(5^2 \times 13 \times 17 \times 29\)
131221025\(5^2 \times 13^2 \times 17^2\)
142442050\(2 \times 5^2 \times 13^2 \times 17^2\)
151795625\(5^4 \times 13^2 \times 17\)
16801125\(5^3 \times 13 \times 17 \times 29\)
17446265625\(5^6 \times 13^4\)
182082925\(5^2 \times 13^2 \times 17 \times 29\)
.........

Relations entre catégories

L'analyse du tableau met rapidement en lumière quelques relations. En dehors du coefficient multiplicateur 2, tous les facteurs premiers sont des nombres premiers de Pythagore. La progression de l'utilisation de ces facteurs premiers suit également la progression en catégorie (5 arrive avant 13 qui précède 17 qui devance 29 ...). Cette progression, logique puisque nous nous sommes uniquement intéressé au nombre le plus bas de chaque catégorie, indique cependant un schéma de changement entre catégories. Le tableau suivant sélectionne certaines catégories dont la somme minimum (appartenant exclusivement à cette catégorie) suit une progression à logique constante. Cette logique est identique pour les différents points de départs sélectionnés.

CatégorieDéveloppement
3\(5^2 \times 13\)
6\(5^2 \times 13 \times 17\)
12\(5^2 \times 13 \times 17 \times 29\)
5\(5^4 \times 13\)
10\(5^4 \times 13 \times 17\)
8\(5^3 \times 13 \times 17\)
16\(5^3 \times 13 \times 17 \times 29\)
9\(5^2 \times 13^2 \times 17\)
18\(5^2 \times 13^2 \times 17 \times 29\)

Ce tableau montre tout simplement qu'un doublement de catégorie est réalisé par la multiplication de la demi-catégorie par le nombre de Pythagore directement supérieur au dernier présent dans la liste des facteurs premiers. Cette constatation permet d'affirmer que \(4005625 = 5^4 \times 13 \times 17 \times 29\) est de catégorie 20 ou que \(5928325 = 5^2 \times 13 \times 17 \times 29 \times 37\) est de catégorie 24 et même que le nombre \(25527273812106625 = 5^3 \times 13 \times 17 \times 29 \times 37 \times 41 \times 53 \times 61 \times 73 \times 89\) est de catégorie 1024.

Dans le même ordre d'idée, la catégorie en \(n\) passe à la catégorie en \((3/2)\times n\) lorsque le premier facteur premier à la puissance 1 passe au carré. Par exemple, entre \(5^2 \times 13 \times 17\) de catégorie 6 et \(5^2 \times 13^2 \times 17\) de catégorie 9.

D'autres relations et une discussion plus profonde des relations vues à partir du tableau complet sont consultables dans ce document.

Généralisation des relations entre catégories

Les différentes relations vues dans le tableau complet permettent d'établir la généralisation suivante: lorsque l'on porte la puissance d'un facteur premier de \(m\) vers \(n\), on porte la catégorie du nombre de \[\textrm{Catégorie finale} = \frac{n+1}{m+1} \times \textrm{Catégorie de départ}\]

Cette généralisation est également directement applicable au doublement de catégorie lors de l'ajout d'un facteur premier. En effet, dans le cas de l'ajout d'un facteur premier, on passe de \(m = 0\) à \(n = 1\) et donc la formule de généralisation donne:\[ \displaystyle \textrm{Catégorie finale} = \frac{1+1}{0+1} \times \textrm{Catégorie de départ} = 2 \times \textrm{Catégorie de départ}\]

Détermination directe de la catégorie

La catégorie d'un nombre dépend directement du produit des puissances des facteurs premiers de Pythagore augmentés de 1.

En première approximation, la catégorie d'un nombre est le produit des exposants (\(e\)) des facteurs premiers de Pythagore augmentés de 1 divisé par deux: \[\textrm{Catégorie} = \frac{(e_5+1)\times(e_{13}+1) \times(e_{17}+1) \times(e_{29}+1) \ldots}{2}\]

Une première variation est visible pour les catégories 7, 13, 17 qui présentent la particularité que tous les exposants des facteurs premiers de Pythagore sont pairs. Dans ce cas, on constate la relation suivante: \[(e_5+1)\times(e_{13}+1) \times(e_{17}+1) \times(e_{29}+1) \ldots = 2 \times \textrm{Catégorie} + 1\] Il est tout aussi juste de considérer que dans ce cas, la catégorie donnée est la partie entière de la détermination générale de la catégorie.

Le rapprochement le plus amusant est celui des catégories 13 (\(5^2 \times 13^2 \times 17^2\)) et 14 (\(2 \times 5^2 \times 13^2 \times 17^2\))qui présentent le même résultat pour le produit des exposants des facteurs premiers de Pythagore. On constate que le produit par 2 d'un carré parfait ajoute 1 à la catégorie atteinte. C'est ce qui ce passe ici et nous permet de généraliser une troisième relation: \[(e_5+1)\times(e_{13}+1) \times(e_{17}+1) \times(e_{29}+1) \ldots = 2 \times \textrm{Catégorie} - 1\] pour le double d'un carré parfait.

En résumé, si on pose que \(\displaystyle \prod {(e_i +1)}\) est le produit de tous les exposants des facteurs premiers de Pythagore augmentés de 1, nous avons les trois relations suivantes: \[\textrm{Minimum 1 exposant impair : }\prod {(e_i +1)} = 2 \times \textrm{Catégorie}\] \[\textrm{Tous les exposants sont pairs : }\prod {(e_i +1)} = 2 \times \textrm{Catégorie} + 1\] \[2\times \textrm{tous les exposants sont pairs : }\prod {(e_i +1)} = 2 \times \textrm{Catégorie} - 1\]

Le plus petit nombre d'une catégorie

A la question; quel est le plus petit nombre somme de 2 carré de catégorie 384. En reprenant nos trois relations de détermination directe d'une catégorie, nous avons:

  • 1 exposant impair \(2 \times 384 = 768 = 2^8 \times 3\) en première analyse 1 facteur au carré et 8 autres puissance 1;
  • Exposants pairs \(2 \times 384 + 1 = 769 = (768+1)\) donc \(5^{768}\)
  • \(2\times\) exposants pairs \(2 \times 384 - 1 = 767 = (58+1)\times(12+1)\) donc \(2 \times 5^{58} \times 13^{12}\)

Le plus petit nombre sera donc dans la catégorie 1 exposant impair. Si 3 est obligatoirement (2+1) donc un carré, \(2^8\) peut être répartit différemment, par exemple \((1+1)^8\) ou \((3+1)\times (1+1)^6\) ou \((3+1)^2 \times (1+1)^4\) ou \((3+1)^3 \times (1+1)^2\) ou \((15+1) \times (1+1)^4\) ou \((63+1) \times (1+1)^2\), ou \((255+1)\). Les candidats sont donc:

  • \(57364660251925 = 5^2 \times 13 \times 17 \times 29 \times 37 \times 41 \times 53 \times 61 \times 73\);
  • \(51078122142125 = 5^3 \times 13^2 \times 17 \times 29 \times 37 \times 41 \times 53 \times 61\);
  • \(185053524482125 = 5^3 \times 13^3 \times 17^2 \times 29 \times 37 \times 41 \times 53\);
  • \(1721346935277125 = 5^3 \times 13^3 \times 17^3 \times 29^2 \times 37 \times 41\);
  • ...

Le gagnant est \(51078122142125 = 5^3 \times 13^2 \times 17 \times 29 \times 37 \times 41 \times 53 \times 61\).

De la même manière, le texte intégral montre que le nombre 25527273812106625 de catégorie 1024 est la plus petite somme de carrés à dépasser les 1000 sommes différentes

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